4052. Биссектриса, проведённая из вершины N
треугольника MNP
, делит сторону MP
на отрезки, равные 28 и 12. Найдите периметр треугольника MNP
, если известно, что MN-NP=18
.
Ответ. 85.
Указание. Примените свойство биссектрисы треугольника.
Решение. Пусть NA
— биссектриса треугольника MNP
. По свойству биссектрисы треугольника \frac{MN}{NP}=\frac{MA}{AP}
.
Поскольку MN-NP=18
, то MN\gt NP
. Поэтому AM\gt AP
. Значит, AM=28
, AP=12
. Следовательно,
\frac{MN}{NP}=\frac{28}{12}=\frac{7}{3}.
Из системы
\syst{MN-NP=18\\\frac{MN}{NP}=\frac{7}{3}\\}
находим, что NP=\frac{27}{2}
и MN=\frac{63}{2}
. Следовательно,
PM+MN+NP=85.
Источник: Вступительный экзамен в МЭСИ. — 1977
Источник: Говоров В. М. и др. Сборник конкурсных задач по математике. — М.: Наука, 1986. — № 9, с. 185