4055. Стороны остроугольного треугольника ABC
соответственно равны a
, b
и c
. Точка M
находится внутри треугольника. Углы AMB
, BMC
и CMA
равны между собой. Найдите сумму отрезков AM
, BM
и CM
.
Ответ. \sqrt{\frac{1}{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})+2S\sqrt{3}}
, где S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}
, p=\frac{a+b+c}{2}
.
Указание. Обозначьте через x
, y
и z
длины отрезков AM
, BM
и CM
и воспользуйтесь равенством
(x+y+z)^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}+2(xy+yz+xz).
Для нахождения суммы x^{2}+y^{2}+z^{2}
воспользуйтесь теоремой косинусов для треугольников AMB
, BMC
и CMA
, а для нахождения суммы xy+yz+xz
сложите площади этих треугольников.
Решение. Каждый из указанных углов равен 120^{\circ}
. Пусть AM=x
, BM=y
, CM=z
, S_{\triangle ABC}=S
. Тогда
S=\frac{1}{2}(xy+xz+yz)\sin120^{\circ}=\frac{(xy+xz+yz)\sqrt{3}}{4}.
Отсюда находим, что 3(xy+yz+xz)=4S\sqrt{3}
.
Выразим a^{2}
, b^{2}
и c^{2}
по теореме косинусов из треугольников BMC
, AMC
и AMB
соответственно, и сложим почленно полученные равенства. Тогда
2(x^{2}+y^{2}+z^{2})+(xy+xz+yz)=a^{2}+b^{2}+c^{2}.
Сложив почленно это равенство с равенством
3(xy+xz+yz)=4S\sqrt{3},
получим, что
2(x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xy+2xz+2yz)=a^{2}+b^{2}+c^{2}+4S\sqrt{3},
или
2(x+y+z)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+4S\sqrt{3}.
Следовательно,
AM+BM+CM=x+y+z=\sqrt{\frac{1}{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})+2S\sqrt{3}}.
(S
найдём по формуле Герона).