4056. Точка D
лежит на стороне CB
прямоугольного треугольника ABC
(\angle C=90^{\circ}
), причём AB=5
, \angle ADC=\arccos\frac{1}{\sqrt{10}}
, DB=\frac{4\sqrt{10}}{3}
. Найдите площадь треугольника ABC
.
Ответ. \frac{15}{4}
.
Указание. Составьте уравнение относительно CD
.
Решение. Обозначим CD=x
, \angle ADC=\alpha
. Поскольку \cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{10}}
, то \tg\alpha=3
. Поэтому AC=3x
.
По теореме Пифагора из треугольника ABC
находим, что
AC^{2}+BC^{2}=AB^{2},~\mbox{или}~9x^{2}+\left(x+\frac{4\sqrt{10}}{3}\right)^{2}=25.
Из этого уравнения находим, что x=\frac{\sqrt{10}}{6}
. Тогда
3x=\frac{\sqrt{10}}{2},~BC=CD+DB=\frac{3\sqrt{10}}{2}.
Следовательно,
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AC=\frac{15}{4}.