4056. Точка D
лежит на стороне CB
прямоугольного треугольника ABC
(\angle C=90^{\circ}
), причём AB=5
, \angle ADC=\arccos\frac{1}{\sqrt{10}}
, DB=\frac{4\sqrt{10}}{3}
. Найдите площадь треугольника ABC
.
Ответ. \frac{15}{4}
.
Указание. Составьте уравнение относительно CD
.
Решение. Обозначим CD=x
, \angle ADC=\alpha
. Поскольку \cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{10}}
, то \tg\alpha=3
. Поэтому AC=3x
.
По теореме Пифагора из треугольника ABC
находим, что
AC^{2}+BC^{2}=AB^{2},~\mbox{или}~9x^{2}+\left(x+\frac{4\sqrt{10}}{3}\right)^{2}=25.
Из этого уравнения находим, что x=\frac{\sqrt{10}}{6}
. Тогда
3x=\frac{\sqrt{10}}{2},~BC=CD+DB=\frac{3\sqrt{10}}{2}.
Следовательно,
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AC=\frac{15}{4}.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1986, билет 1, № 2
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 86-1-2, с. 272