4058. Точка D
лежит на стороне BC
равнобедренного треугольника ABC
(AB=CB
), причём CD=\frac{1}{4}CB
, \angle ACB=\arccos\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}
, AD=\frac{3}{4}
. Найдите площадь треугольника ABC
.
Ответ. \frac{\sqrt{2}}{11}
.
Указание. Примените теорему косинусов и составьте уравнение относительно DC
.
Решение. Обозначим CD=x
, \angle ACB=\alpha
. Тогда
BC=4x,~AC=2BC\cos\alpha=\frac{8x\sqrt{2}}{\sqrt{3}}.
По теореме косинусов
AD^{2}=CD^{2}+AC^{2}-2CD\cdot AC\cos\alpha,~\mbox{или}~\frac{9}{16}=x^{2}+64x^{2}\cdot\frac{2}{3}-2x\cdot8x\cdot\frac{2}{3}.
Отсюда находим, что x^{2}=\frac{3}{11\cdot16}
. Следовательно,
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC\cdot\sin\alpha=\frac{1}{2}\cdot8x\cdot\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\cdot4x\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{16x^{2}\sqrt{2}}{3}=\frac{\sqrt{2}}{11}.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1986, билет 2, № 2
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 86-2-2, с. 273