4060. Докажите, что для произвольного треугольника выполняется равенство
r=\frac{a\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}},
где r
— радиус вписанной окружности, \alpha
, \beta
и \gamma
— углы треугольника ABC
, a=BC
.
Указание. Пусть O
— центр окружности, вписанной в треугольник ABC
. Рассмотрите треугольник BOC
.
Решение. Пусть O
— центр окружности, вписанной в треугольник ABC
. Тогда
\angle BOC=180^{\circ}-\frac{\beta}{2}-\frac{\gamma}{2}=90^{\circ}+\frac{\alpha}{2}.
По теореме синусов из треугольника OBC
находим, что
OC=\frac{a\sin\frac{\beta}{2}}{\sin\left(90^{\circ}+\frac{\alpha}{2}\right)}=\frac{a\sin\frac{\beta}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}}.
Следовательно,
r=OC\sin\frac{\gamma}{2}=\frac{a\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}}.