4062. В треугольнике ABC
проведена высота BM
, биссектриса BN
и медиана BL
. Известно, что AM=MN=NL
. Найдите тангенс угла A
этого треугольника.
Ответ. \sqrt{7}
.
Указание. Примените свойство биссектрисы треугольника.
Решение. Обозначим AM=MN=NL=x
, \angle A=\alpha
, AB=a
. Тогда
CL=AL=3x,~AN=2x,~CN=4x.
По свойству биссектрисы треугольника
\frac{AB}{BC}=\frac{AN}{NC}=\frac{1}{2}.
Поэтому BC=2AB=2a
.
По теореме Пифагора
BM^{2}=AB^{2}-AM^{2}=BC^{2}-CM^{2},~\mbox{или}~a^{2}-x^{2}=4a^{2}-25x^{2}.
Отсюда находим, что a=2x\sqrt{2}
. Следовательно,
\cos\alpha=\frac{AM}{AB}=\frac{x}{a}=\frac{1}{2\sqrt{2}},~\tg\alpha=\sqrt{7}.
Источник: Шарыгин И. Ф. Факультативный курс по математике. Решение задач: Учебное пособие для 10 кл. — М.: Просвещение, 1989. — № 211, с. 208