4064. В треугольнике ABC
стороны AB
и AC
равны соответственно \sqrt{10}
и \sqrt{2}
, а радиус окружности, описанной около треугольника ABC
, равен \sqrt{5}
. Найдите сторону BC
и угол ACB
, если известно, что угол ACB
— острый.
Ответ. 4; 45^{\circ}
.
Указание. Примените формулу a=2R\sin\alpha
.
Решение. Заметим, что \sin\angle ACB=\frac{AB}{2R}
(где R=\sqrt{5}
— радиус описанной окружности треугольника ABC
), т. е. \sin\angle ACB=\frac{\sqrt{2}}{2}
. Поэтому \angle ACB=45^{\circ}
. Аналогично находим, что \sin\angle ABC=\frac{1}{\sqrt{10}}
.
Поскольку AC\lt AB
, а угол ACB
— острый, то угол ABC
также острый. Поэтому \cos\angle ABC=\frac{3}{\sqrt{10}}
. Тогда
\sin\angle A=\sin(180^{\circ}-\angle B-\angle C)=\sin(\angle B+\angle C)=
=\sin\angle B\cos\angle C+\cos\angle B\sin\angle C=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{10}}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{3}{\sqrt{10}}=\frac{2}{\sqrt{5}}.
Следовательно,
BC=2R\sin\angle A=2\sqrt{5}\cdot\frac{2}{\sqrt{5}}=4.
Источник: Вступительный экзамен на факультет вычислительной математики и кибернетики (ВМК) МГУ. — 1981, № 3, вариант 4
Источник: Нестеренко Ю. В., Олехник С. Н., Потапов М. К. Задачи вступительных экзаменов по математике. — М.: Наука, 1983. — с. 32