4066. В треугольнике ABC
биссектриса угла ABC
пересекает сторону AC
в точке K
. Известно, что BC=2
, KC=1
, BK=\frac{3\sqrt{2}}{2}
. Найдите площадь треугольника ABC
.
Ответ. \frac{15\sqrt{7}}{16}
.
Указание. Найдите косинус угла C
и воспользуйтесь свойством биссектрисы треугольника.
Решение. По теореме косинусов из треугольника BKC
находим, что
\cos\angle C=\frac{BC^{2}+KC^{2}-BK^{2}}{2BC\cdot KC}=\frac{1}{8}.
По свойству биссектрисы треугольника
\frac{AB}{AK}=\frac{BC}{KC}=2.
Обозначим AK=x
. Тогда AB=2x
, и по теореме косинусов из треугольника ABC
находим, что
AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}-2AC\cdot BC\cos\angle C,~\mbox{или}~4x^{2}=(x+1)^{2}+4-2\cdot2\cdot(x+1)\cdot\frac{1}{8}.
Из этого уравнения находим, что x=\frac{3}{2}
. Следовательно,
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AC\sin\angle C=\frac{15\sqrt{7}}{16}.
Источник: Вступительный экзамен на факультет почвоведения МГУ. — 1983, вариант 1, № 4
Источник: Нестеренко Ю. В., Олехник С. Н., Потапов М. К. Задачи вступительных экзаменов по математике. — М.: Наука, 1986. — с. 65