4067. В прямоугольной трапеции ABCD
основание AB
в 1,5 раза больше диагонали AC
. Углы BAD
и ADC
прямые. Угол DCA
равен углу BCA
. Боковая сторона AD
равна 4. Найдите площадь трапеции ABCD
.
Ответ. 11\sqrt{2}
.
Указание. Найдите косинус угла при основании равнобедренного треугольника ABC
Решение. Пусть AC=x
. Тогда AB=\frac{3x}{2}
. Поскольку
\angle CAB=\angle DCA=\angle ACB,
то треугольник ABC
— равнобедренный. Если BM
— его высота, то
AM=CM=\frac{x}{2},~BC=AB=\frac{3x}{2}.
Из прямоугольного треугольника AMB
находим, что
\cos\alpha=\cos\angle MAB=\frac{AM}{AB}=\frac{\frac{x}{2}}{\frac{3x}{2}}=\frac{1}{3}.
Из прямоугольного треугольника ADC
находим, что
x=AC=\frac{AD}{\sin\angle DCA}=\frac{4}{\sin\alpha}=\frac{4}{\frac{2\sqrt{2}}{3}}=3\sqrt{2},
DC=AC\cos\alpha=\frac{3\sqrt{2}}{3}=\sqrt{2}.
Следовательно,
S_{ABCD}=\frac{AB+CD}{2}\cdot AD=\frac{\frac{9\sqrt{2}}{2}+\sqrt{2}}{2}\cdot4=11\sqrt{2}.
Источник: Вступительный экзамен на факультет почвоведения МГУ. — 1983, вариант 2, № 4
Источник: Нестеренко Ю. В., Олехник С. Н., Потапов М. К. Задачи вступительных экзаменов по математике. — М.: Наука, 1986. — с. 66