4069. В треугольнике ABC
биссектриса угла BAC
пересекает сторону BC
в точке M
. Известно, что AB=BC=2AC
, AM=4
. Найдите площадь треугольника ABC
.
Ответ. \frac{18\sqrt{15}}{5}
.
Указание. Примените свойство биссектрисы треугольника и теорему косинусов.
Решение. По свойству биссектрисы треугольника
\frac{BM}{MC}=\frac{AB}{AC}=2.
Обозначим MC=x
. Тогда
BM=2x,~AB=BC=3x,~AC=\frac{1}{2}AB=\frac{3x}{2}.
Пусть P
— середина AC
. Из прямоугольного треугольника BPC
находим, что
\cos\alpha=\cos\angle BAC=\frac{PC}{BC}=\frac{1}{4}.
По теореме косинусов
AM^{2}=AC^{2}+MC^{2}-2AC\cdot MC\cos\alpha,~\mbox{или}~16=\frac{9x^{2}}{4}+x^{2}-2\cdot\frac{3x}{2}\cdot x\cdot\frac{1}{4}.
Из этого уравнения находим, что x=\frac{8}{\sqrt{10}}
. Следовательно,
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC\sin\alpha=\frac{1}{2}\cdot\frac{3x}{2}\cdot3x\cdot\frac{\sqrt{15}}{4}=\frac{18\sqrt{15}}{5}.
Источник: Вступительный экзамен на факультет почвоведения МГУ. — 1983, вариант 4, № 4