4070. В треугольник ABC
вписана окружность, которая касается сторон AB
, BC
, AC
соответственно в точках M
, D
, N
. Найдите MD
, если известно, что NA=2
, NC=3
, \angle BCA=60^{\circ}
.
Ответ. \frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{7}}
.
Указание. Обозначьте BM=BD=x
и примените теорему косинусов к треугольнику ABC
.
Решение. Обозначим BM=BD=x
. Тогда
AB=BM+AM=BM+AN=x+2~BC=BD+CD=BD+CN=x+3.
По теореме косинусов
AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}-2AC\cdot BC\cos\angle C,~\mbox{или}~(x+2)^{2}=25+(x+3)^{2}-5(x+3).
Из этого уравнения находим, что x=5
. Тогда AB=7
, BC=8
.
Ещё раз применяя теорему косинусов к треугольнику ABC
, находим, что
\cos\angle B=\frac{AB^{2}+BC^{2}-AC^{2}}{2AB\cdot BC}=\frac{7^{2}+8^{2}-5^{2}}{2\cdot7\cdot8}=\frac{11}{14}.
Искомый отрезок MD
находим по теореме косинусов из равнобедренного треугольника MBD
:
MD=\sqrt{BM^{2}+BD^{2}-2BM\cdot BD\cos\angle B}=\sqrt{25+25-2\cdot5\cdot\frac{11}{14}}=\frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{7}}.
Источник: Вступительный экзамен на геологический факультет МГУ. — 1982 (отделение общей геологии), вариант 4, № 5
Источник: Нестеренко Ю. В., Олехник С. Н., Потапов М. К. Задачи вступительных экзаменов по математике. — М.: Наука, 1986. — с. 91