4074. В прямоугольнике ABCD
сторона AB
втрое длиннее стороны BC
. Внутри прямоугольника расположена точка N
, причём AN=\sqrt{2}
, BN=4\sqrt{2}
, DN=2
. Найдите косинус угла BAN
и площадь прямоугольника ABCD
.
Ответ. \frac{7}{\sqrt{65}}
; \frac{78}{5}
.
Указание. Обозначьте AD=x
, \angle BAD=\alpha
, и с помощью теоремы косинусов составьте систему уравнений относительно x
и \alpha
.
Решение. Обозначим AD=BC=x
, AB=DC=3x
, \angle BAN=\alpha
. Тогда \angle NAD=90^{\circ}-\alpha
. По теореме косинусов из треугольников BAN
и NAD
находим, что
BN^{2}=AN^{2}+AB^{2}-2AN\cdot AB\cos\alpha,
DN^{2}=AD^{2}+AN^{2}-2AD\cdot AN\sin\alpha.
Получим систему
\syst{32=2+9x^{2}-2\cdot\sqrt{2}\cdot3x\cdot\cos\alpha\\4=x^{2}+2-2\cdot x\cdot\sqrt{2}\cdot\sin\alpha,\\}
или
\syst{2x\sqrt{2}\cos\alpha=3x^{2}-10\\2x\sqrt{2}\sin\alpha=x^{2}-2.\\}
Возведём обе части каждого уравнения в квадрат и сложим полученные уравнения. Имеем уравнение
8x^{2}=9x^{4}-60x^{2}+100+x^{4}-4x^{2}+4,~\mbox{или}~10x^{4}-72x^{2}+104=0.
Отсюда находим, что x^{2}=2
или x^{2}=\frac{26}{5}
. Условию задачи удовлетворяет только второй корень (при x=\sqrt{2}
не выполняется неравенство треугольника для треугольника BAN
). Следовательно,
S_{ABCD}=3x^{2}=\frac{78}{5}.
По теореме косинусов из треугольника BAN
находим, что \cos\alpha=\frac{7}{\sqrt{65}}
.
Источник: Вступительный экзамен на экономический факультет МГУ. — 1978 (отделение политической экономии), вариант 1, № 2C
Источник: Нестеренко Ю. В., Олехник С. Н., Потапов М. К. Задачи вступительных экзаменов по математике. — М.: Наука, 1986. — с. 105