4079. В трапеции ABCD
основание AD
равно 16, сумма диагоналей AC
и BD
равна 36, угол CAD
равен 60^{\circ}
. Отношение площадей треугольников AOD
и BOC
, где O
— точка пересечения диагоналей, равно 4. Найдите площадь трапеции.
Ответ. 90\sqrt{3}
.
Указание. Пусть K
— точка пересечения прямой, проходящей через вершину B
параллельно AC
, с продолжением основания AD
. Примените к треугольнику KBD
теорему косинусов.
Решение. Из подобия треугольников AOD
и COB
следует, что BC=8
. Через вершину B
проведём прямую, параллельную диагонали AC
, до пересечения продолжением основания AD
в точке K
. Обозначим BK=AC=x
. Тогда
BD=36-x,~AK=BC=8,~\angle BKD=60^{\circ}.
По теореме косинусов
BD^{2}=KB^{2}+KD^{2}-2KB\cdot KD\cos60^{\circ},
или
(36-x)^{2}=x^{2}+24^{2}-24x.
Из этого уравнения находим, что x=15
. Следовательно
S_{ABCD}=S_{\triangle KBD}=\frac{1}{2}KB\cdot KD\sin60^{\circ}=
=\frac{1}{2}\cdot15\cdot24\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=90\sqrt{3}.
Источник: Вступительный экзамен на факультет психологии МГУ. — 1990, № 3, вариант 1
Источник: Журнал «Квант». — 1991, № 2, с. 67