4080. В трапеции ABCD
основание AD
равно 16, сумма боковой стороны AB
и диагонали BD
равна 40, угол CBD
равен 60^{\circ}
. Отношение площадей треугольников ABO
и BOC
, где O
— точка пересечения диагоналей, равно 2. Найдите площадь трапеции.
Ответ. 126\sqrt{3}
.
Указание. Примените теорему косинусов.
Решение. Обозначим AB=x
. Тогда BD=40-x
. По теореме косинусов
AB^{2}=AD^{2}+BD^{2}-2AD\cdot BD\cos\angle ADB,
или
x^{2}=16^{2}+(40-x)^{2}-16(40-x).
Из этого уравнения находим, что x=19
. Тогда BD=40-x=21
. Поэтому
S_{\triangle ADB}=\frac{1}{2}AD\cdot DB\sin60^{\circ}=\frac{1}{2}\cdot16\cdot21\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=84\sqrt{3}.
Поскольку треугольники AOD
и COB
подобны, то
\frac{BC}{AD}=\frac{CO}{AO}=\frac{S_{\triangle BOC}}{S_{\triangle BOA}}=\frac{1}{2}.
Поэтому BC=8
, а
S_{\triangle BDC}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABD}=42\sqrt{3}.
Следовательно,
S_{ABCD}=S_{\triangle ABD}+S_{\triangle BDC}=126\sqrt{3}.