4081. В остроугольном треугольнике ABC
точка D
выбрана на стороне AB
так, что \angle DCA=45^{\circ}
. Точка D_{1}
симметрична точке D
относительно прямой BC
, а точка D_{2}
симметрична точке D_{1}
относительно прямой AC
и лежит на продолжении отрезка BC
за точку C
. Найдите площадь треугольника ABC
, если BC=\sqrt{3}CD_{2}
, AB=4
.
Ответ. 4.
Указание. \angle BCD=30^{\circ}
, четырёхугольник DBD_{1}C
— ромб.
Решение. Пусть Q
и P
— точки пересечения отрезков DD_{1}
и D_{1}D_{2}
с прямыми BC
и AC
. Обозначим \angle ACB=\gamma
. Тогда
\angle D_{1}CP=\angle D_{2}CP=\angle ACB=\gamma,
\angle QCD_{1}=\angle QCD=\angle ACB-\angle ACD=\gamma-45^{\circ}.
Поскольку
\angle QCD_{1}+\angle D_{1}CP+\angle D_{2}CP=180^{\circ},
то
\gamma-45^{\circ}+2\gamma=180^{\circ}.
Отсюда находим, что \gamma=75^{\circ}
, а \angle DCB=30^{\circ}
.
Обозначим CD_{2}=x
. Тогда
DC=D_{1}C=D_{2}C=x,~BC=x\sqrt{3},
QC=DC\cos30^{\circ}=\frac{x\sqrt{3}}{2},~BQ=BC-QC=\frac{x\sqrt{3}}{2}=QC.
Поэтому DBD_{1}C
— ромб. Тогда
\angle ABC=\angle DCB=30^{\circ},
\angle BAC=180^{\circ}-\angle ABC-\angle ACB=180^{\circ}-30^{\circ}-75^{\circ}=75^{\circ}.
Поэтому треугольник ABC
— равнобедренный, BC=AB=4
. Следовательно,
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot BC\sin30^{\circ}=\frac{1}{2}\cdot4\cdot4\cdot\frac{1}{2}=4.