4085. В прямоугольном треугольнике ABC
с прямым углом C
, углом B
, равным 30^{\circ}
, и катетом CA=1
, проведена медиана CD
. Кроме того, из точки D
под углом 15^{\circ}
к гипотенузе проведена прямая, пересекающая отрезок BC
в точке F
. Найдите площадь треугольника CDF
. Укажите её приближённое значение в виде десятичной дроби с точностью до 0,01.
Ответ. \frac{\sqrt{3}+1}{8}
; 0{,}34
Указание. Примените теорему синусов к треугольнику CDF
.
Решение. Поскольку DC=DB
, то
\angle DCF=\angle ABC=30^{\circ},~\angle DFC=\angle BDF+\angle DBF=45^{\circ},
\angle CDF=180^{\circ}-30^{\circ}-45^{\circ}=105^{\circ}.
Поскольку CD=AC=1
, то по теореме синусов из треугольника CDF
находим, что
CF=\frac{CD\sin105^{\circ}}{\sin45^{\circ}}=\sqrt{2}(\sin60^{\circ}\cos45^{\circ}+\cos60^{\circ}\sin45^{\circ})=\frac{\sqrt{3}+1}{2}.
Высота DK
треугольника ABC
является средней линией треугольника ABC
. Поэтому DK=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}
. Следовательно, S_{\triangle CDF}=\frac{1}{2}CF\cdot DK=\frac{\sqrt{3}+1}{8}
.