4087. В равносторонний треугольник ABC
со стороной, равной 8, вписан прямоугольный треугольник A_{1}B_{1}C_{1}
таким образом, что вершина прямого угла C_{1}
является серединой стороны AB
, а один из катетов образует со стороной AB
угол 15^{\circ}
. Найдите площадь треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
. Укажите приближённое значение в виде десятичной дроби с точностью до 0,01.
Ответ. 12(\sqrt{3}-1)
; 8{,}78
.
Указание. Найдите A_{1}C_{1}
и C_{1}B_{1}
из треугольников A_{1}BC_{1}
и AB_{1}C_{1}
по теореме синусов.
Решение. Пусть точки A_{1}
и B_{1}
расположены на отрезках BC
и AC
соответственно. Тогда
\angle BC_{1}A_{1}=180^{\circ}-\angle AC_{1}B_{1}-\angle A_{1}C_{1}B_{1}=180^{\circ}-15^{\circ}-90^{\circ}=75^{\circ},
\angle BA_{1}C_{1}=180^{\circ}-60^{\circ}-75^{\circ}=45^{\circ},~\angle AB_{1}C_{1}=180^{\circ}-60^{\circ}-15^{\circ}=105^{\circ}.
Из треугольников A_{1}BC_{1}
и AB_{1}C_{1}
по теореме синусов находим A_{1}C_{1}
и C_{1}B_{1}
:
A_{1}C_{1}=\frac{BC_{1}\sin60^{\circ}}{\sin45^{\circ}}=\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=2\sqrt{6},
C_{1}B_{1}=\frac{AC_{1}\sin60^{\circ}}{\sin105^{\circ}}=\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{\sqrt{2}}{4}}=2\sqrt{6}(\sqrt{3}-1).
Следовательно,
S_{\triangle A_{1}B_{1}C_{1}}=\frac{1}{2}A_{1}C_{1}\cdot B_{1}C_{1}=12(\sqrt{3}-1).
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет МГУ. — 1976, № 3, вариант 3