4088. В прямоугольном треугольнике ABC
угол C
— прямой, а угол A
равен 30^{\circ}
. Высота CC_{1}
, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу AB
, равна 5\sqrt{2}
. Из точки C_{1}
проведены биссектрисы углов CC_{1}A
и CC_{1}B
, пересекающие стороны AC
и BC
в точках B_{1}
и A_{1}
соответственно. Найдите длину отрезка A_{1}B_{1}
. Укажите её приближённое значение в виде десятичной дроби с точностью до 0,01.
Ответ. 10(\sqrt{3}-1)
; 7{,}32
.
Указание. Докажите, что A_{1}CB_{1}
— равнобедренный прямоугольный треугольник и найдите AB_{1}
из треугольника AB_{1}C_{1}
по теореме синусов.
Решение. Из прямоугольного треугольника CC_{1}A
находим, что
AC=2CC_{1}=10\sqrt{2},~AC_{1}=\sqrt{3}CC_{1}=5\sqrt{6}.
Точки C
, A_{1}
, C_{1}
и B_{1}
лежат на окружности с диаметром A_{1}B_{1}
. Поэтому
\angle A_{1}B_{1}C=\angle A_{1}C_{1}C=\frac{1}{2}\angle BC_{1}C=45^{\circ}.
Следовательно, A_{1}CB_{1}
— равнобедренный прямоугольный треугольник. Значит, A_{1}B_{1}=\sqrt{2}CB_{1}
.
В треугольнике C_{1}B_{1}A
известно, что
\angle C_{1}B_{1}A=180^{\circ}-\angle B_{1}C_{1}A-\angle B_{1}AC_{1}=180^{\circ}-45^{\circ}-30^{\circ}=105^{\circ}.
Найдём AB_{1}
из этого треугольника по теореме синусов:
AB_{1}=\frac{AC_{1}\sin45^{\circ}}{\sin105^{\circ}}=\frac{5\sqrt{6}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{\sqrt{2}}{4}}=15\sqrt{2}-5\sqrt{6}.
Тогда
CB_{1}=AC-AB_{1}=10\sqrt{2}-15\sqrt{2}+5\sqrt{6}=5\sqrt{2}(\sqrt{3}-1).
Следовательно,
A_{1}B_{1}=\sqrt{2}CB_{1}=10(\sqrt{3}-1).