4089. Площадь треугольника ABC
равна S
, \angle BAC=\alpha
, AC=b
. Найдите BC
.
Ответ. \sqrt{\frac{4S^{2}}{b^{2}\sin^{2}\alpha}+b^{2}-4S\ctg\alpha}
.
Указание. Примените теорему косинусов.
Решение. Поскольку S=\frac{1}{2}AB\cdot AC\sin\alpha
, то AB=\frac{2S}{b\sin\alpha}
. По теореме косинусов
BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}-2AB\cdot AC\cos\alpha=
=\frac{4S^{2}}{b^{2}\sin^{2}\alpha}+b^{2}-2b\cos\alpha\cdot\frac{2S}{b\sin\alpha}=\frac{4S^{2}}{b^{2}\sin^{2}\alpha}+b^{2}-4S\ctg\alpha.
Источник: Вступительный экзамен на физический факультет МГУ. — 1992, № 4, вариант 1