4091. В треугольнике ABC
высота AH
равна h
, \angle BAC=\alpha
, \angle BCA=\gamma
. Найдите площадь треугольника ABC
.
Ответ. \frac{h^{2}\sin\alpha}{2\sin\gamma\sin(\alpha+\gamma)}
.
Указание. Примените теорему синусов.
Решение. Из прямоугольного треугольника CHA
находим, что
AC=\frac{AH}{\sin\gamma}=\frac{h}{\sin\gamma}.
По теореме синусов
BC=\frac{AC\sin\alpha}{\sin(\alpha+\gamma)}=\frac{h\sin\alpha}{\sin\gamma\sin(\alpha+\gamma)}.
Следовательно,
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AH=\frac{h^{2}\sin\alpha}{2\sin\gamma\sin(\alpha+\gamma)}.
Источник: Вступительный экзамен на физический факультет МГУ. — 1992, № 4, вариант 3; 2006 март, № 4, вариант 1