4093. В ромбе ABCD
угол при вершине A
равен 60^{\circ}
. Точка N
делит сторону AB
в отношении AN:BN=2:1
. Найдите тангенс угла DNC
.
Ответ. \frac{9\sqrt{3}}{11}
.
Указание. Примените теорему косинусов.
Решение. Пусть сторона ромба равна 3a
, искомый угол равен \alpha
. Тогда BN=a
, AN=2a
.
Из треугольников NAD
и NBC
по теореме косинусов находим, что DN^{2}=7a^{2}
, CN^{2}=13a^{2}
. Тогда
\cos\alpha=\frac{DN^{2}+CN^{2}-DC^{2}}{2DN\cdot CN}=\frac{11}{2\sqrt{91}}.
Следовательно,
\tg\alpha=\sqrt{\frac{1}{\cos^{2}\alpha}-1}=\sqrt{\frac{364}{121}-1}=\sqrt{\frac{243}{121}}=\frac{9\sqrt{3}}{11}.