4095. В трапеции средняя линия равна 7, высота равна \frac{15\sqrt{3}}{7}
, а угол между диагоналями против основания равен 120^{\circ}
. Найдите диагонали трапеции.
Ответ. 6 и 10.
Указание. Через вершину меньшего основания трапеции проведите прямую, параллельную диагонали.
Решение. Через вершину C
меньшего основания BC
трапеции ABCD
проведём прямую, параллельную диагонали BD
, до пересечения с прямой AD
в точке P
. Тогда
AP=AD+DP=AD+BC=2\cdot7=14.
Обозначим AC=x
, BD=CP=y
. Поскольку \angle ACP=120^{\circ}
, то
AC^{2}+CP^{2}-2AC\cdot CP\cos120^{\circ}=AP^{2},~\mbox{или}~x^{2}+y^{2}+xy=196.
С другой стороны,
S_{\triangle ACP}=\frac{1}{2}xy\cdot\sin120^{\circ}=\frac{1}{2}AP\cdot\frac{15\sqrt{3}}{7},
или xy=60
. Из системы
\syst{x^{2}+y^{2}+xy=196\\xy=60\\}
находим, что AC=x=6
, BD=y=10
или AC=x=10
, BD=y=6
.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1966, билет 10, № 2
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 66-10-2, с. 119