4098. Четырёхугольник ABCD
вписанный. Пусть H_{a}
, H_{b}
, H_{c}
и H_{d}
— ортоцентры треугольников BCD
, ACD
, ABD
и ABC
соответственно. Докажите, что отрезки AH_{a}
, BH_{b}
, CH_{c}
и DH_{d}
пересекаются в одной точке.
Указание. Если H
— точка пересечения высот треугольника ABC
, а O
— центр его описанной окружности, то \overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}
.
Решение. Лемма. Пусть H
— точка пересечения высот треугольника ABC
, O
— центр описанной окружности. Тогда \overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}
.
Доказательство. Рассмотрим сумму векторов \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OK}
. Отрезок OK
— диагональ ромба OAKB
. Поэтому OK\perp AB
. Следовательно, OK\parallel CH
. Тогда, если \overrightarrow{OK}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OM}
, то точка M
принадлежит высоте, проходящей через вершину C
.
Таким образом, если \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OH}_{1}
, то точка H_{1}
принадлежит каждой высоте треугольника ABC
. Значит, точки H_{1}
и H
совпадают. Отсюда следует доказательство леммы.
Перейдём к нашей задаче. Применяя лемму, докажем, что четырёхугольник BCH_{b}H_{c}
— параллелограмм. Действительно,
\overrightarrow{H_{c}H_{b}}=\overrightarrow{OH_{b}}-\overrightarrow{OH_{c}}=
=(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD})-(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD})=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{BC}.
Противоположные стороны BC
и H_{c}H_{b}
четырёхугольника BCH_{b}H_{c}
равны и параллельны, следовательно, это параллелограмм. Его диагонали BH_{b}
и CH_{c}
делятся точкой пересечения Q
пополам.
Аналогично докажем, что CDH_{c}H_{d}
и ABH_{a}H_{b}
— параллелограммы. Значит, отрезки AH_{a}
и DH_{d}
проходят через точку Q
. Что и требовалось доказать.
Примечание. 1. То, что BCH_{b}H_{c}
— параллелограмм, можно доказать с помощью такого известного факта: расстояние от ортоцентра треугольника до вершины вдвое больше расстояния от центра описанной окружности до противоположной стороны треугольника.
Если P
— середина AD
, то BH_{c}=2OP=CH_{b}
и BH_{c}\parallel CH_{b}
. Следовательно, четырёхугольник BCH_{b}H_{c}
— параллелограмм.
2. Точка пересечения отрезков AH_{a}
, BH_{b}
, CH_{c}
и BH_{d}
называется ортоцентром вписанного четырёхугольника ABCD
.
3. См. статью Д.Швецова «Важная лемма», Квант, 2012, N5/6, с.57-60.