4100. В треугольнике ABC
угол B
прямой, точка M
лежит на стороне AC
, причём AM:MC=1:3\sqrt{3}
, \angle ABM=\frac{\pi}{6}
, BM=6
. Найдите угол BAC
и расстояние между центрами окружностей, описанных вокруг треугольников BCM
и BAM
.
Ответ. \arctg3
, 10.
Указание. Центры указанных окружностей лежат на серединном перпендикуляре к отрезку BM
. Радиусы окружностей найдите с помощью теоремы синусов.
Решение. Пусть D
— проекция точки M
на катет AB
. Из прямоугольного треугольника BDM
находим, что
DM=\frac{1}{2}BM=3,~BD=BM\cdot\cos30^{\circ}=6\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}.
Поскольку AD:DB=AM:MC=1:3\sqrt{3}
, то AD=1
. Тогда AM=\sqrt{10}
, MC=3\sqrt{30}
.
Из прямоугольного треугольника ADM
находим, что \tg\angle BAC=\frac{DM}{AD}=3
.
Пусть O_{1}
и O_{2}
— центры окружностей радиусов R_{1}
и R_{2}
, описанных вокруг треугольников BCM
и BAM
соответственно. Тогда O_{1}O_{2}
— серединный перпендикуляр к общей стороне BM
этих треугольников, причём точки O_{1}
и O_{2}
лежат по разные стороны от прямой BM
.
По теореме синусов
R_{1}=\frac{MC}{2\cdot\sin\angle CBM}=\frac{3\sqrt{30}}{2\sin60^{\circ}}=3\sqrt{10},
R_{2}=\frac{AM}{2\cdot\sin\angle ABM}=\frac{\sqrt{10}}{2\sin30^{\circ}}=\sqrt{10}.
Если N
— точка пересечения BM
и O_{1}O_{2}
, то
O_{1}O_{2}=O_{1}N+O_{2}N=\sqrt{O_{1}M^{2}-MN^{2}}+\sqrt{O_{2}M^{2}-BN^{2}}=
=\sqrt{R_{1}^{2}-MN^{2}}+\sqrt{R_{2}^{2}-BN^{2}}=\sqrt{90-9}+\sqrt{10-9}=9+1=10.