4112. Длины трёх сторон четырёхугольника, вписанного в окружность радиуса 2\sqrt{2}
, одинаковы и равны 2. Найдите четвёртую сторону.
Ответ. 5.
Указание. Докажите, что данный четырёхугольник — равнобокая трапеция. Далее примените теорему синусов.
Решение. Пусть четырёхугольник ABCD
вписан в окружность радиуса R=2\sqrt{2}
, причём AB=BC=CD=2
. Обозначим \angle CAD=\alpha
. Поскольку равные хорды стягивают равные дуги, а вписанные углы, опирающиеся на равные хорды, равны, то \angle ACB=\angle CAD
. Поэтому BC\parallel AD
. Следовательно, ABCD
— равнобокая трапеция.
Из теоремы синусов следует, что
\sin\alpha=\sin\angle CAD=\frac{CD}{2R}=\frac{2}{4\sqrt{2}}=\frac{1}{2\sqrt{2}}.
Поскольку \angle BAC=\angle CAD=\alpha
, то \angle BAD=2\alpha
Пусть P
— проекция точки B
на большее основание AD
трапеции ABCD
. Из прямоугольного треугольника ABP
находим, что
AP=AB\cos2\alpha=2(1-2\sin^{2}\alpha)=2\left(1-2\cdot\frac{1}{8}\right)=\frac{3}{2}.
По свойству равнобокой трапеции AP=\frac{AD-BC}{2}
. Отсюда находим, что
AD=2AP+BC=2\cdot\frac{3}{2}+2=3+2=5.