4120. Докажите, что площадь трапеции с перпендикулярными диагоналями равна среднему арифметическому проекций диагоналей на основание, умноженному на их среднее геометрическое.
Решение. Рассмотрим трапецию ABCD
с основаниями AD
и BC
(AD\gt BC
) и перпендикулярными диагоналями AC
и BD
. Пусть K
и H
— проекции вершин C
и B
на основание AD
. Обозначим AK=m
, DH=n
, AD=a
, BC=b
. Тогда
KH=BC=b,~a=AD=AK+DH-KH=m+n-b,
поэтому a+b=m+n
.
Через вершину C
проведём прямую, параллельную диагонали BD
. Пусть эта прямая пересекается с продолжением основания AD
в точке E
. Тогда
AE=AD+DE=AD+BC=a+b,~
KE=AE-AK=a+b-m=m+n-m=n.
Поскольку \angle ACE=90^{\circ}
, отрезок CK
— высота прямоугольного треугольника ACE
, проведённая из вершины прямого угла, значит,
CK=\sqrt{AK\cdot KE}=\sqrt{mn}.
Следовательно,
S_{ABCD}=\frac{AD+BC}{2}\cdot CK=\frac{a+b}{2}\sqrt{mn}=\frac{m+n}{2}\sqrt{mn}.