4124. Докажите, что произведение расстояния от вершины треугольника до центра вписанной окружности на расстояние от этой вершины до центра вневписанной окружности, касающейся противоположной стороны, равно произведению сторон, сходящихся в этой вершине.
Решение. Пусть I
— центр окружности, вписанной в треугольник ABC
, I_{a}
— центр вневписанной окружности, касающейся стороны BC
. Требуется доказать, что AI\cdot AI_{a}=AB\cdot BC
.
Точки A
, I
и I_{a}
лежат на биссектрисе угла ABC
, точка I
— на биссектрисе угла ABC
, а точка I_{a}
— на биссектрисе внешнего угла при вершине B
треугольника ABC
.
Биссектрисы смежных углов перпендикулярны, поэтому из точек B
и C
отрезок II_{a}
виден под прямым углом. Значит, эти точки лежат на окружности с диаметром II_{a}
. Вписанные в эту окружность углы II_{a}C
и IBC
опираются на одну и ту же дугу, поэтому
\angle AI_{a}C=\angle II_{a}C=\angle IBC=\angle ABI.
Кроме того, \angle CAI_{a}=\angle BAI
, поэтому треугольники ACI_{a}
и AIB
подобны по двум углам. Значит, \frac{AC}{AI}=\frac{AI_{a}}{AB}
. Следовательно, AI\cdot AI_{a}=AB\cdot BC
. Что и требовалось доказать.