4130. Четырёхугольник вписан в одну окружность и описан около другой. Докажите, что точки касания вписанной окружности делят противоположные стороны четырёхугольника в равных отношениях.
Указание. Прямоугольные треугольники OBM
и KAO
подобны.
Решение. Пусть O
— центр вписанной окружности данного четырёхугольника KLMN
, r
— радиус этой окружности, A
и B
— точки её касания с противоположными сторонами KL
и MN
соответственно.
Тогда KO
и MO
— биссектрисы углов K
и M
. Поскольку четырёхугольник вписанный, сумма этих углов равна 180^{\circ}
. Поэтому
\angle AKO+\angle BMO=\frac{1}{2}(\angle LKN+\angle LMN)=\frac{1}{2}\cdot180^{\circ}=90^{\circ}.
Тогда прямоугольные треугольники OAK
и MBO
подобны. Значит, \frac{AO}{BM}=\frac{AK}{OB}
, поэтому
AK\cdot BM=AO\cdot OB=r\cdot r=r^{2}.
Аналогично AL\cdot BN=r^{2}
. Из равенства AK\cdot BM=AL\cdot BN
следует, что \frac{AK}{AL}=\frac{BN}{BM}
. Что и требовалось доказать.
Аналогично для точек касания вписанной окружности со сторонами LM
и KN
.