4135. Из точки A
, находящейся вне окружности с центром O
, проведены две касательные AB
и AC
(B
и C
— точки касания). Отрезок AO
пересекается с окружностью в точке D
и с отрезком BC
в точке F
. Прямая BD
пересекает отрезок AC
в точке E
. Известно, что площадь четырёхугольника DECF
равна площади треугольника ABD
. Найдите угол OCB
.
Ответ. 30^{\circ}
.
Указание. Докажите, что треугольник ABC
— равносторонний.
Решение. Поскольку точки A
и O
равноудалены от концов отрезка BC
, то AO
— серединный перпендикуляр к хорде BC
. Отсюда следует, что AF
— медиана треугольника BAC
. Тогда
S_{\triangle ABF}=S_{\triangle ACF}~\Rightarrow~S_{\triangle ADB}+S_{\triangle BDF}=S_{\triangle ADE}+S_{DECF}~\Rightarrow
\Rightarrow~S_{\triangle BDF}=S_{\triangle ADE}~\Rightarrow~S_{\triangle ADE}+S_{\triangle ADB}=S_{\triangle BDF}+S_{DECF}~\Rightarrow~S_{\triangle ABE}=S_{\triangle BCE}.
Следовательно, BE
— также медиана треугольника ABC
.
Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что
\angle ABD=\angle BCD=\angle CBD.
Поэтому BE
— биссектриса треугольника ABC
.
Таким образом, медиана BE
треугольника ABC
является его биссектрисой. Значит, треугольник ABC
— равнобедренный, AB=BC
, а так как AB=AC
, то треугольник ABC
— равносторонний. Следовательно,
\angle OCB=\angle OAC=\frac{1}{2}\angle BAC=30^{\circ}.
Источник: Вступительный экзамен на биологический факультет МГУ. — 2003 (Факультет фундаментальной медицины, апрель), вариант 1, № 4