4142. Касательная к описанной окружности треугольника ABC
, проведённая в точке A
, пересекает луч BC
в точке D
. Найдите AD
и CD
, если BC=a
, AC=b
и AB=c
.
Ответ. AD=\frac{abc}{c^{2}-b^{2}}
, CD=\frac{ab^{2}}{c^{2}-b^{2}}
.
Указание. Треугольники CAD
и ABD
подобны по двум углам.
Решение. Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что \angle CAD=\angle ABC=\angle ABD
, значит, треугольники CAD
и ABD
подобны по двум углам.
Обозначим AD=x
, CD=y
. Тогда
\frac{AD}{BD}=\frac{AC}{AB}=\frac{CD}{AD},
или
\frac{x}{y+a}=\frac{b}{c}=\frac{y}{x}.
Отсюда получаем систему
\syst{x^{2}=y(y+a)\\y=\frac{b}{c}x,\\}
из которой находим, что x=\frac{abc}{c^{2}-b^{2}}
и y=\frac{ab^{2}}{c^{2}-b^{2}}
.
Примечание. Заметим, что ACB
— внешний угол треугольника ACD
, поэтому \angle ACB\gt\angle CAD=\angle ABC
. Значит, c\gt b
. Следовательно, c^{2}-b^{2}\gt0
.