4144. AC
и BD
— диагонали вписанного четырёхугольника ABCD
. Углы DAC
и ABD
равны соответственно \gamma
и \delta
, сторона CD=a
. Найдите площадь треугольника ACD
Ответ. \frac{1}{2}a^{2}\cdot\frac{\sin\delta\cdot\sin(\gamma+\delta)}{\sin\gamma}
.
Указание. Примените теорему синусов к треугольнику ACD
.
Решение. Поскольку вписанные углы ACD
и ABD
опираются на одну и ту же дугу, то
\angle ACD=\angle ABD=\delta.
Применяя теорему синусов к треугольнику ACD
, получим:
\frac{AC}{\sin(180^{\circ}-\angle CAD-\angle ACD)}=\frac{CD}{\sin\angle CAD},~\mbox{или}~\frac{AC}{\sin(180^{\circ}-\gamma-\delta)}=\frac{a}{\sin\gamma}.
Отсюда находим, что
AC=a\cdot\frac{\sin(180^{\circ}-\gamma-\delta)}{\sin\gamma}=a\cdot\frac{\sin(\gamma+\delta)}{\sin\gamma}.
Следовательно,
S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}\cdot CD\cdot AC\cdot\sin\angle ACD=\frac{1}{2}\cdot a\cdot a\cdot\frac{\sin(\gamma+\delta)}{\sin\gamma}\cdot\sin\delta=\frac{1}{2}a^{2}\cdot\frac{\sin\delta\cdot\sin(\gamma+\delta)}{\sin\gamma}.
Источник: Вступительный экзамен на филологический факультет МГУ. — 2003 (март), вариант 1, № 4