4151. Даны точки A(2;4)
, B(6;-4)
и C(-8;-1)
. Найдите косинус угла между медианами CM
и AK
треугольника ABC
.
Ответ. \frac{17}{\sqrt{1189}}
.
Решение. Координаты середины K
стороны BC
равны средним арифметическим координат вершин B
и C
, т. е. x=\frac{6-8}{2}=-1
и y=\frac{-4-1}{2}=-\frac{5}{2}
. Значит, вектор \overrightarrow{AK}
имеет координаты x=-1-2=-3
и y=-\frac{5}{2}-4=-\frac{13}{2}
.
Аналогично находим координаты точки M
и вектора \overrightarrow{CM}
: M(4;0)
, \overrightarrow{CM}=(12;1)
.
Пусть \varphi
— угол между векторами \overrightarrow{AK}
и \overrightarrow{CM}
. Поскольку вектор \overrightarrow{AK}
противоположно направлен с вектором -2\overrightarrow{AK}=(6;13)
, угол \varphi
между векторами \overrightarrow{AK}
и \overrightarrow{CM}
дополняет до 180^{\circ}
угол между векторами с координатами (6;13)
и (12;1)
.
Косинус угла между ненулевыми векторами равен скалярному произведению этих векторов, делённому на произведение их модулей, поэтому
\cos(180^{\circ}-\varphi)=\frac{-2\overrightarrow{AK}\cdot\overrightarrow{CM}}{|-2\overrightarrow{AK}|\cdot|\overrightarrow{CM}|}=\frac{6\cdot12+13\cdot1}{\sqrt{36+169}\cdot\sqrt{144+1}}=
=\frac{85}{\sqrt{205}\cdot\sqrt{145}}=\frac{17}{\sqrt{41}\cdot\sqrt{29}}=\frac{17}{\sqrt{1189}}.
Следовательно, косинус угла между прямыми CM
и AK
равен \frac{17}{\sqrt{1189}}
.