4152. Даны точки A(-2;0)
, B(1;6)
и C(5;4)
. Найдите косинус угла между медианами AM
и CN
треугольника ABC
.
Ответ. \frac{13}{5\sqrt{10}}
.
Решение. Координаты середины M
стороны BC
равны средним арифметическим координат вершин B
и C
, т. е. x=\frac{1+5}{2}=3
и y=\frac{6+4}{2}=5
. Значит, вектор \overrightarrow{AM}
имеет координаты x=3-(-2)=5
и y=5-0=5
.
Аналогично находим координаты точки N
и вектора \overrightarrow{CN}
: N\left(-\frac{1}{2};3\right)
, \overrightarrow{CM}=\left(-\frac{11}{2};-1\right)
.
Пусть \varphi
— угол между векторами \overrightarrow{AM}
и \overrightarrow{CN}
. Поскольку вектор \overrightarrow{CN}
противоположно направлен с вектором -2\overrightarrow{CN}=(11;2)
, угол \varphi
между векторами \overrightarrow{AM}
и \overrightarrow{CN}
дополняет до 180^{\circ}
угол между векторами с координатами (5;5)
и (11;2)
.
Косинус угла между ненулевыми векторами равен скалярному произведению этих векторов, делённому на произведение их модулей, поэтому
\cos(180^{\circ}-\varphi)=\frac{-2\overrightarrow{CN}\cdot\overrightarrow{AM}}{|-2\overrightarrow{CN}|\cdot|\overrightarrow{AM}|}=\frac{11\cdot5+2\cdot5}{\sqrt{121+4}\cdot\sqrt{25+25}}=\frac{65}{\sqrt{125}\cdot\sqrt{50}}=\frac{13}{5\sqrt{10}}.
Следовательно, косинус угла между прямыми AM
и CN
равен \frac{13}{5\sqrt{10}}
.