4153. Известно, что |\overrightarrow{a}|=1
, |\overrightarrow{b}|=2
, а угол между векторами \overrightarrow{a}
и \overrightarrow{b}
равен 60^{\circ}
. Найдите:
а) модуль вектора 2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}
;
б) косинус угла между векторами 3\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}
и \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}
.
Ответ. 2\sqrt{7}
; \frac{1}{7}
.
Решение. а) Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, поэтому
\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}|\cdot|\overrightarrow{b}|\cos60^{\circ}=1\cdot2\cdot\frac{1}{2}=1.
Следовательно,
|2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}|=\sqrt{(2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b})^{2}}=\sqrt{4\overrightarrow{a}^{2}-12\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}+9\overrightarrow{b}^{2}}=\sqrt{4-12\cdot1+36}=\sqrt{28}=2\sqrt{7}.
б) Пусть \varphi
— угол между векторами 3\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}
и \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}
. Тогда
\cos\varphi=\frac{(3\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})}{|3\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|\cdot|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|}=\frac{3\overrightarrow{a}^{2}+2\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}-\overrightarrow{b}^{2}}{\sqrt{(3\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})^{2}}\cdot\sqrt{(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})^{2}}}=
=\frac{3\overrightarrow{a}^{2}+2\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}-\overrightarrow{b}^{2}}{\sqrt{9\overrightarrow{a}^{2}-6\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}^{2}}\cdot\sqrt{\overrightarrow{a}^{2}+2\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}^{2}}}=
=\frac{3\cdot1+2\cdot1-4}{\sqrt{9\cdot1-6\cdot1+4}\cdot\sqrt{1+2\cdot1+4}}=\frac{1}{\sqrt{7}\cdot\sqrt{7}}=\frac{1}{7}.