4154. Известно, что |\overrightarrow{c}|=3
, |\overrightarrow{d}|=1
, а угол между векторами \overrightarrow{c}
и \overrightarrow{d}
равен 120^{\circ}
. Найдите:
а) модуль вектора 3\overrightarrow{c}-2\overrightarrow{d}
;
б) косинус угла между векторами 2\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}
и \overrightarrow{c}-\overrightarrow{d}
.
Ответ. \sqrt{103}
; \frac{37}{2\sqrt{403}}
.
Решение. а) Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, поэтому
\overrightarrow{c}\overrightarrow{d}=|\overrightarrow{c}|\cdot|\overrightarrow{d}|\cos120^{\circ}=3\cdot1\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{3}{2}.
Следовательно,
|3\overrightarrow{c}-2\overrightarrow{d}|=\sqrt{(3\overrightarrow{c}-2\overrightarrow{d})^{2}}=\sqrt{9\overrightarrow{c}^{2}-12\overrightarrow{c}\overrightarrow{d}+4\overrightarrow{d}^{2}}=
=\sqrt{9\cdot9-12\cdot3\cdot1\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)+4}=\sqrt{81+18+4}=\sqrt{103}.
б) Пусть \varphi
— угол между векторами 2\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}
и \overrightarrow{c}-\overrightarrow{d}
. Тогда
\cos\varphi=\frac{(2\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d})(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{d})}{|2\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}|\cdot|\overrightarrow{c}-\overrightarrow{d}|}=\frac{2\overrightarrow{c}^{2}-\overrightarrow{c}\overrightarrow{d}-\overrightarrow{d}^{2}}{\sqrt{(2\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d})^{2}}\cdot\sqrt{(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{d})^{2}}}=
=\frac{2\overrightarrow{c}^{2}-\overrightarrow{c}\overrightarrow{d}-\overrightarrow{d}^{2}}{\sqrt{4\overrightarrow{c}^{2}+4\overrightarrow{c}\overrightarrow{d}+\overrightarrow{d}^{2}}\cdot\sqrt{\overrightarrow{c}^{2}-2\overrightarrow{c}\overrightarrow{d}+\overrightarrow{d}^{2}}}=
=\frac{2\cdot9+\frac{3}{2}-1}{\sqrt{4\cdot9-4\cdot\frac{3}{2}+1}\cdot\sqrt{9+2\cdot\frac{3}{2}+1}}=
=\frac{18+\frac{3}{2}-1}{\sqrt{36-6+1}\cdot\sqrt{9+3+1}}=\frac{37}{2\sqrt{31}\cdot\sqrt{13}}=\frac{37}{2\sqrt{403}}.