4156. Из точки P(1;3)
проведена касательная к окружности (x+1)^{2}+(y+3)^{2}=4
. Найдите координаты точки касания.
Ответ. (1;-3)
; \left(-\frac{13}{5};-\frac{9}{5}\right)
.
Решение. Пусть O(-1;-3)
— центр окружности, A(x;y)
— точка касания. Тогда вектор \overrightarrow{OA}(x+1;y+3)
перпендикулярен вектору \overrightarrow{PA}(x-1;y-1)
, поэтому \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{PA}=0
, или
(x+1)(x-1)+(y+3)(y-3)=0~\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}=10.
Координаты (x;y)
точки A
удовлетворяют системе уравнений
\syst{(x+1)^{2}+(y+3)^{2}=4\\x^{2}+y^{2}=10.\\}
Вычитая из первого уравнения второе, получим систему
\syst{2x+6y+20=4\\x^{2}+y^{2}=10,\\}
из которой находим, что x=1
, y=-3
или x=-\frac{13}{5}
, y=-\frac{9}{5}
.