4158. Докажите, что если углы треугольника равны \alpha
, \beta
и \gamma
, то
\cos2\alpha+\cos2\beta+\cos2\gamma\geqslant-\frac{3}{2}.
Когда достигается равенство?
Решение. Рассмотрим треугольник ABC
с углами \angle A=\alpha
, \angle B=\beta
и \angle C=\gamma
. Пусть O
— центр его описанной окружности, а радиус окружности равен 1. Если треугольник остроугольный, то
\angle BOC=2\alpha,~\angle AOC=2\beta,~\angle AOB=2\gamma.
Тогда
0\leqslant(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})^{2}=
=\overrightarrow{OA}^{2}+\overrightarrow{OB}^{2}+\overrightarrow{OC}^{2}+2\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OC}+2\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OC}=
=1+1+1+2\cdot1\cdot1\cdot\cos2\gamma+2\cdot1\cdot1\cdot\cos2\beta+2\cdot1\cdot1\cdot\cos2\alpha=
=3+2(\cos2\alpha+\cos2\beta+\cos2\gamma).
Следовательно, \cos2\alpha+\cos2\beta+2\cos\gamma\geqslant-\frac{3}{2}
, причём равенство достигается в случае, когда \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}
, т. е. когда треугольник ABC
— равносторонний.
Если треугольник ABC
тупоугольный или прямоугольный, например, \angle BAC\geqslant90^{\circ}
, то центральный угол BOC
, не содержащий точки A
, равен 360^{\circ}-2\alpha
, а так как \cos(360^{\circ}-2\alpha)=\cos2\alpha
, то неравенство верно и в этом случае.