4159. Пусть I
— центр вписанной окружности треугольника ABC
со сторонами BC=a
, AC=b
и AB=c
, O
— произвольная точка. Докажите, что
\overrightarrow{OI}=\frac{a\overrightarrow{OA}+b\overrightarrow{OB}+c\overrightarrow{OC}}{a+b+c}.
Решение. Пусть AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
— биссектрисы треугольника. Биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам, поэтому
\frac{BA_{1}}{CA_{1}}=\frac{AB}{AC}=\frac{c}{b},~BA_{1}=\frac{c}{b+c}BC,~
а так как BI
— биссектриса треугольника ABA_{1}
, то
\frac{AI}{IA_{1}}=\frac{AB}{BA_{1}}=\frac{c}{\frac{ac}{b+c}}=\frac{b+c}{a},~\frac{AI}{AA_{1}}=\frac{b+c}{a+b+c},
поэтому
\overrightarrow{AI}=\frac{b+c}{a+b+c}\overrightarrow{AA_{1}}=\frac{b+c}{a+b+c}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA_{1}})=\frac{b+c}{a+b+c}\left(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}+\frac{c}{b+c}\overrightarrow{BC}\right)=
=\frac{b+c}{a+b+c}\left(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}+\frac{c}{b+c}(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB})\right)=\frac{b+c}{a+b+c}\left(\frac{b}{b+c}\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}+\frac{c}{b+c}\overrightarrow{OC}\right).
Следовательно,
\overrightarrow{OI}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{OA}+\frac{b+c}{a+b+c}\left(\frac{b}{b+c}\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}+\frac{c}{b+c}\overrightarrow{OC}\right)=\frac{a\overrightarrow{OA}+b\overrightarrow{OB}+c\overrightarrow{OC}}{a+b+c}.
Что и требовалось доказать.
Примечание. Следствие. Для того, чтобы некоторая точка I
была точкой пересечения биссектрис треугольника ABC
со сторонами BC=a
, AC=b
и AB=c
, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство
a\overrightarrow{OA}+b\overrightarrow{OB}+c\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}.