4161. Биссектрисы углов A
и C
треугольника ABC
пересекают его стороны в точках A_{1}
и C_{1}
, а описанную окружность этого треугольника — в точках A_{0}
и C_{0}
соответственно. Прямые A_{1}C_{1}
и A_{0}C_{0}
пересекаются в точке P
. Докажите, что отрезок, соединяющий P
с центром вписанной окружности треугольника ABC
, параллелен AC
.
Указание. Докажите, что AC_{0}=OC_{0}
и рассмотрите гомотетию с центром C_{0}
и коэффициентом \frac{CC_{0}}{OC_{0}}
, где O
— центр вписанной окружности треугольника ABC
.
Решение. Обозначим \angle BAC=\alpha
, \angle ACB=\gamma
. Пусть O
— центр вписанной окружности (точка пересечения биссектрис) треугольника ABC
. Тогда
\angle AOC_{0}=\angle OAC+\angle OCA=\frac{\alpha}{2}+\frac{\gamma}{2},~\angle OAC_{0}=\angle OAB+\angle BAC_{0}=\frac{\alpha}{2}+\frac{\gamma}{2}
(вписанные углы BAC_{0}
и BCC_{0}
опираются на одну и ту же дугу), поэтому треугольник OAC_{0}
— равнобедренный, AC_{0}=OC_{0}
.
Треугольник CAC_{0}
подобен треугольнику AC_{1}C_{0}
по двум углам (угол AC_{0}C
общий, а \angle BAC_{0}=\angle BCC_{0}=\angle ACC_{0}
), поэтому \frac{CC_{0}}{AC_{0}}=\frac{AC_{0}}{C_{1}C_{0}}
, а так как AC_{0}=OC_{0}
, то \frac{CC_{0}}{OC_{0}}=\frac{OC_{0}}{C_{1}C_{0}}
, значит, при гомотетии с центром C_{0}
и коэффициентом \frac{CC_{0}}{OC_{0}}
точка C
переходит в точку O
, точка O
— в точку C_{1}
, прямая AC
— в некоторую прямую l
, проходящую через точку O
параллельно AC
, а прямая m
, проходящая через точку O
параллельно A_{1}C_{1}
, — в прямую C_{1}A_{1}
. Поэтому точка Q
пересечения прямых m
и AC
переходит в точку P'
пересечения прямых A_{1}C_{1}
и l
. Следовательно, точка C_{0}
лежит на прямой QP'
.
Аналогично докажем, что точка A_{0}
также лежит на прямой QP'
. Таким образом, точка P
пересечения прямых A_{1}C_{1}
и A_{0}C_{0}
совпадает с точкой P'
, а значит, лежит на прямой l
, проходящей через точку O
параллельно AC
. Что и требовалось доказать.
Автор: Емельянов Л. А.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2005-06, XXXII, окружной этап, 11 класс
Источник: Агаханов Н. Х. и др. Всероссийские математические олимпиады школьников. 1993—2006. — М.: МЦНМО, 2007. — № 420, с. 54