4163. На сторонах AB
, BC
, CA
треугольника ABC
выбраны точки P
, Q
, R
соответственно таким образом, что AP=CQ
и четырёхугольник RPBQ
— вписанный. Касательные к описанной окружности треугольника ABC
в точках A
и C
пересекают прямые RP
и RQ
в точках X
и Y
соответственно. Докажите, что RX=RY
.
Решение. Заметим, что
\angle ARP\lt\angle ARP+\angle CRQ=180^{\circ}-\angle PRQ=\angle PBQ=\angle ABC.
Предположим, что точка X
лежит на продолжении отрезка PR
за точку R
. Тогда
\angle ARP=180^{\circ}-\angle ARX\gt\angle RAX=\angle ABC,
что невозможно. Следовательно, точка X
лежит на луче RP
.
Из теоремы об угле между касательной и хордой \angle XAP=\angle ACB
. Кроме того,
\angle APX=\angle BPR=180^{\circ}-\angle BQR=\angle CQR,
значит, треугольники APX
и CQR
равны по стороне и двум прилежащим к ней углам, поэтому PX=QR
. Аналогично докажем, что PR=QY
. Следовательно,
RX=PR+PX=QY+QR=RY.
Что и требовалось доказать.
Автор: Берлов С. Л.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2005-06, XXXII, заключительный этап, 9 класс
Источник: Агаханов Н. Х. и др. Всероссийские математические олимпиады школьников. 1993—2006. — М.: МЦНМО, 2007. — № 742, с. 95