4166. На дугах AB
и BC
окружности, описанной около треугольника ABC
, выбраны соответственно точки K
и L
так, что прямые KL
и AC
параллельны. Докажите, что центры вписанных окружностей треугольников ABK
и CBL
равноудалены от середины дуги ABC
.
Указание. Пусть I_{1}
и I_{2}
— точки пересечения биссектрис треугольников соответственно ABK
и CBL
, а прямые BI_{1}
и BI_{2}
вторично пересекают описанную окружность треугольника ABC
в точках P
и Q
соответственно. Докажите, что треугольники API_{1}
и CQI_{2}
— равнобедренные.
Решение. Пусть I_{1}
и I_{2}
— точки пересечения биссектрис треугольников соответственно ABK
и CBL
(центры вписанных окружностей этих треугольников), а прямые BI_{1}
и BI_{2}
вторично пересекают описанную окружность треугольника ABC
в точках P
и Q
соответственно. Дуги APK
и CQL
заключены между параллельными хордами AC
и KL
, поэтому они равны, а так как лучи BP
и BQ
— биссектрисы вписанных углов ABK
и CBL
, опирающихся на эти дуги, то точки P
и Q
— середины равных дуг APK
и CQL
, значит, AP=CQ
.
Докажем, что треугольники API_{1}
и CQI_{2}
— равнобедренные. Действительно, вписанные углы KAP
и KBP
опираются на одну и ту же дугу, поэтому \angle KAP=\angle KBP
, а так как AI_{1}
и BI_{1}
— биссектрисы углов BAK
и ABK
, то
\angle PAI_{1}=\angle KAP+\angle KAI_{1}=\angle KBP+\angle BAI_{1}=
=\angle KBI_{1}+\angle BAI_{1}=\angle ABI_{1}+\angle BAI_{1}=\angle PI_{1}A
(PI_{1}A
— внешний угол треугольника AI_{1}B
). Следовательно, треугольник API_{1}
— равнобедренный, AP=PI_{1}
.
Аналогично докажем, что треугольник CQI_{2}
также равнобедренный, CQ=QI_{2}
, а так как AP=CQ
, то PI_{1}=QI_{2}
.
Пусть R
— середина дуги ABC
. Тогда RP=RQ
. Вписанные углы BPR
и BQR
опираются на одну и ту же дугу, поэтому \angle I_{1}PR=\angle BPR=\angle BQR=\angle I_{2}QR
, значит, треугольники I_{1}PR
и I_{2}QR
равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, I_{1}R=I_{2}R
, что и требовалось доказать.