4167. Биссектрисы BB_{1}
и CC_{1}
треугольника ABC
пересекаются в точке I
. Прямая B_{1}C_{1}
пересекает описанную окружность треугольника ABC
в точках M
и N
. Докажите, что радиус описанной окружности треугольника MIN
вдвое больше радиуса описанной окружности треугольника ABC
.
Решение. Продолжим биссектрисы BB_{1}
и CC_{1}
треугольника ABC
до пересечения с его описанной окружностью в точках B_{0}
и C_{0}
соответственно.
Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, поэтому AI
— биссектриса угла BAC
. Обозначим \angle BAC=\alpha
, \angle ABC=\beta
. По теореме о внешнем угле треугольника
\angle AIB_{0}=\angle BAI+\angle ABI=\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2}.
С другой стороны, вписанные углы CAB_{0}
и CBB_{0}
опираются на одну и ту же дугу, поэтому
\angle IAB_{0}=\angle CAA_{0}+\angle CAB_{0}=\angle CAA_{0}+\angle CBB_{0}=\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2},
значит, треугольник IAB_{0}
— равнобедренный, AB_{0}=IB_{0}
. Аналогично докажем, что AC_{0}=IC_{0}
. Значит, треугольники B_{0}AC_{0}
и B_{0}IC_{0}
равны по трём сторонам.
Пусть радиус описанной окружности треугольника ABC
равен R
. Через вершину A
проведём прямую, параллельную B_{0}C_{0}
, и продолжим BB_{0}
и CC_{0}
до пересечения с этой прямой в точках B_{2}
и C_{2}
соответственно. Прямая B_{0}C_{0}
— серединный перпендикуляр к отрезку AI
, поэтому B_{0}C_{0}
— средняя линия треугольника B_{2}IC_{2}
. Следовательно, радиус R_{1}
описанной окружности треугольника B_{2}IC_{2}
вдвое больше радиуса описанной окружности треугольника B_{0}IC_{0}
, а так как треугольник B_{0}IC_{0}
равен треугольнику B_{0}AC_{0}
, то R_{1}
вдвое больше радиуса описанной окружности треугольника B_{0}AC_{0}
, т. е. R_{1}=2R
.
Докажем теперь, что точки M
и N
лежат на описанной окружности треугольника B_{2}IC_{2}
. Заметим, что \angle AB_{2}I=\angle C_{0}B_{0}B=\angle C_{0}CB=\angle ACI
, т. е. из точек B_{2}
и C
, лежащих по одну сторону от прямой AI
, отрезок AI
виден под одним и тем же углом. Значит, точки B_{2}
, C
, I
, A
лежат на одной окружности. По теореме о произведении отрезков пересекающихся хорд AB_{1}\cdot CB_{1}=IB_{1}\cdot B_{2}B_{1}
. С другой стороны AB_{1}\cdot CB_{1}=MB_{1}\cdot NB_{1}
, так как точки M
, N
, A
и C
лежат на одной окружности (см. задачу 114) — описанной окружности треугольника ABC
. Значит, MB_{1}\cdot NB_{1}=IB_{1}\cdot B_{2}B_{1}
. Следовательно, точка B_{2}
лежит на описанной окружности треугольника IMN
. Аналогично докажем, что точка C_{2}
также лежит на этой окружности.
Таким образом, описанная окружность треугольника IMN
совпадает с описанной окружностью треугольника B_{2}IC_{2}
, а радиус этой окружности равен 2R
. Что и требовалось доказать.