4170. В прямоугольном треугольнике ABC
проведена высота CH
к гипотенузе AB
. Биссектрисы углов CAB
и BCH
пересекаются в точке M
, а биссектрисы углов CBA
и ACH
— в точке N
. Докажите, что MN\parallel AB
.
Указание. Пусть CP
и CQ
— биссектрисы треугольников BCH
и ACH
соответственно. Докажите, что M
и N
— середины отрезков CP
и CQ
.
Решение. Пусть CP
и CQ
— биссектрисы треугольников BCH
и ACH
соответственно. Обозначим \angle CAM=\alpha
. Тогда
\angle BCH=\angle BAC=2\angle CAM=2\alpha,~\angle MCH=\frac{1}{2}\angle BCH=\alpha,
\angle ACH=90^{\circ}-2\alpha,~\angle ACM=\angle ACH+\angle MCH=(90^{\circ}-2\alpha)+\alpha=90^{\circ}-\alpha,
\angle AMC=180^{\circ}-\angle CAM-\angle ACM=180^{\circ}-\alpha-(90^{\circ}-\alpha)=90^{\circ},
поэтому AM
— высота и биссектриса треугольника CAP
. Значит, этот треугольник — равнобедренный, а AM
— его медиана, т. е. M
— середина отрезка CP
. Аналогично, N
— середина отрезка CQ
. Таким образом, MN
— средняя линия треугольника PCQ
, поэтому MN\parallel PQ
. Следовательно, MN\parallel AB
.
Источник: Московская математическая олимпиада. — 2003, LXVI, окружной тур, 9 класс