4171. Семиугольник, три угла которого равны по 120^{\circ}
, вписан в окружность. Могут ли все его стороны быть различными по длине?
Ответ. Нет.
Решение. Пусть в данном семиугольнике есть два соседних угла по 120^{\circ}
, например, углы при вершинах A
и B
(рис. 1). Тогда
\smile GAB=\smile ABC=360^{\circ}-240^{\circ}=120^{\circ},
поэтому \angle BOG=\angle AOC=120^{\circ}
, где O
— центр окружности. Значит, \angle AOG=\angle BOC
. Следовательно, AG=BC
.
Если же углы по 120^{\circ}
расположены не рядом, то без ограничения общности можно считать, что это углы при вершинах A
, C
и E
(рис. 2). Тогда
\angle BOG=\angle BCD=\angle DEF=120^{\circ},~\angle FOG=360^{\circ}-(\angle BOG+\angle BCD+\angle DEF)=360^{\circ}-3\cdot120^{\circ}=0^{\circ},
что невозможно.
Источник: Московская математическая олимпиада. — 2003, LXVI, окружной тур, 9 класс