4173. В трапеции ABCD
с меньшим основанием BC
через точку B
проведена прямая, параллельная CD
и пересекающая диагональ AC
в точке E
. Сравните площади треугольников ABC
и DEC
.
Ответ. Площади треугольников равны.
Решение. Пусть прямая BE
пересекает большее основание AD
трапеции в точке K
. Тогда четырёхугольник BCDK
— параллелограмм, поэтому DK=BC
.
Треугольники DEC
и DKC
равновелики, так как у них общее основание CD
, а высоты, проведённые из вершин E
и K
равны, поскольку KE\parallel CD
.
Треугольники ABC
и CDK
равновелики, так как у них равны основания (DK=BC
) и высоты, проведённые из вершин A
и C
, поскольку BC\parallel AD
. Следовательно, треугольники ABC
и DEC
также равновелики.
Источник: Московская математическая олимпиада. — 2003, LXVI, окружной тур, 11 класс