4178. Докажите, что площадь правильного двенадцатиугольника, вписанного в окружность радиуса 1, равна 3.
Решение. Первый способ. Пусть P
и Q
— две соседние вершины правильного двенадцатиугольника площади S
, O
— его центр. Тогда \angle POQ=\frac{360^{\circ}}{12}=30^{\circ}
. Следовательно,
S=12S_{\triangle POQ}=12\cdot\frac{1}{2}OP\cdot OQ\sin\angle POQ=12\cdot\frac{1}{2}\cdot1\cdot1\cdot\frac{1}{2}=3.
Второй способ. Докажем сначала, что если четыре вершины правильного двенадцатиугольника расположены в серединах сторон квадрата (рис. 1), то площадь заштрихованной части в 12 раз меньше площади двенадцатиугольника.
Заметим, что каждый угол правильного двенадцатиугольника равен \frac{180^{\circ}(12-2)}{12}=150^{\circ}
.
Разрежем исходный квадрат на четыре квадрата и рассмотрим один из них — ABCD
(рис. 2). Пусть P
и Q
— точки внутри квадрата ABCD
, для которых \angle PAB=\angle PBA=\angle QBC=\angle QCB
. Тогда равнобедренные треугольники APB
и BQC
равны по стороне и двум прилежащим к ней углам,
\angle APB=\angle BQC=150^{\circ},~\angle PBQ=90^{\circ}-2\cdot15^{\circ}=60^{\circ},
\angle BPQ=\angle BQP=60^{\circ},~AP=BP=PQ=BQ=CQ,
\angle APQ=360^{\circ}-150^{\circ}-60^{\circ}=150^{\circ},~\angle PQC=360^{\circ}-150^{\circ}-60^{\circ}=150^{\circ}.
Следовательно, AP
, PQ
и QC
— стороны правильного двенадцатиугольника, о котором говорится в условии задачи.
Пусть B_{1}
— точка, симметричная точке B
относительно прямой PQ
. Тогда треугольник PB_{1}Q
равен равностороннему треугольнику BPQ
, а так как D
— центр правильного двенадцатиугольника, то DP=DA=AB
. Кроме того,
PB_{1}=PQ=AP,~\angle DPB_{1}=75^{\circ}-60^{\circ}=15^{\circ},
значит, треугольники DB_{1}P
и APB
равны по двум сторонам и углу между ними. Аналогично докажем, что равны треугольники DB_{1}Q
и BQC
. Таким образом, сумма s
площадей треугольников APB
, BPQ
и BQC
равна площади треугольника PDQ
, а так как площадь этого треугольника составляет третью часть от четверти площади двенадцатиугольника, то s
в двенадцать раз меньше площади двенадцатиугольника. Что и требовалось доказать.
Возвратимся к нашей задаче. Опишем квадрат около данного двенадцатиугольника так, как показано на рис. 3. Тогда площадь этого квадрата равна 4. Пусть площадь двенадцатиугольника равна x
. Тогда, по доказанному выше, сумма заштрихованных частей равна 4\cdot\frac{1}{12}x
, значит, 4\cdot\frac{1}{12}x+x=4
, откуда находим, что x=3
.
Примечание. Известно, что только два правильных многоугольника, вписанные в единичную окружность, имеют площадь, величина которой выражается рациональным числом. Это квадрат и правильный двенадцатиугольник.
На 4-й странице обложки журнала Квант, 1980, N6 помещён рисунок, из которого следует изящное доказательство утверждения этой задачи, принадлежащее венгерскому математику Й. Кюршаку.
