4180. Четырёхугольник ABCD
вписан в окружность радиуса R
; \varphi
— угол между его диагоналями. Докажите, что площадь S
четырёхугольника ABCD
равна 2R^{2}\sin A\sin B\sin\varphi
.
Указание. Площадь четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.
Решение. Известно, что площадь четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними, значит, S=\frac{1}{2}BD\cdot AC\sin\varphi
.
По теореме синусов находим, что
BD=2R\sin\angle BAD,~AC=2R\sin\angle ABC.
Следовательно,
S=\frac{1}{2}BD\cdot AC\sin\varphi=\frac{1}{2}\cdot2R\sin\angle BAD\cdot2R\sin\angle ABC\sin\varphi=2R^{2}\sin\angle BAD\sin\angle ABC\sin\varphi.
Что и требовалось доказать.
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 1. — М.: Наука, 1991. — № 4.80
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 4.44, с. 86
Источник: Мерзляк А. Г., Поляков В. М. Геометрия. 9 класс. Углублённый уровень. — М.: Вентана-Граф, 2020. — № 5.29, с. 45