4180. Четырёхугольник ABCD
вписан в окружность радиуса R
; \varphi
— угол между его диагоналями. Докажите, что площадь S
четырёхугольника ABCD
равна 2R^{2}\sin A\sin B\sin\varphi
.
Указание. Площадь четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.
Решение. Известно, что площадь четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними, значит, S=\frac{1}{2}BD\cdot AC\sin\varphi
.
По теореме синусов находим, что
BD=2R\sin\angle BAD,~AC=2R\sin\angle ABC.
Следовательно,
S=\frac{1}{2}BD\cdot AC\sin\varphi=\frac{1}{2}\cdot2R\sin\angle BAD\cdot2R\sin ABC\sin\varphi=2R^{2}\sin\angle BAD\sin ABC\sin\varphi.
Что и требовалось доказать.