4181. Шестиугольник ABCDEF
вписан в окружность. Диагонали AD
, BE
и CF
являются диаметрами этой окружности. Докажите, что площадь шестиугольника ABCDEF
равна удвоенной площади треугольника ACE
.
Решение. Пусть O
— центр окружности. Тогда O
— точка пересечения диагоналей AD
и BE
прямоугольника ABDE
. Поэтому
S_{\triangle AOB}=S_{\triangle DOE}=S_{\triangle AOE}.
Аналогично,
S_{\triangle BOC}=S_{\triangle EOF}=S_{\triangle COE},~S_{\triangle COD}=S_{\triangle AOF}=S_{\triangle AOC}.
Следовательно,
S_{ABCDEF}=2S_{\triangle AOB}+2S_{\triangle BOC}+2S_{\triangle COD}=2(S_{\triangle AOB}+S_{\triangle BOC}+S_{\triangle COD})=
=2(S_{\triangle AOE}+S_{\triangle COE}+S_{\triangle AOC})=2S_{\triangle ACE}.
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 1. — М.: Наука, 1991. — № 4.6
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 4.6, с. 82