4186. Точка D
лежит на стороне BC
треугольника ABC
, причём BD:DC=m:n
. Выразите вектор \overrightarrow{AD}
через векторы \overrightarrow{AB}
и \overrightarrow{AC}
Ответ. \frac{n}{m+n}\overrightarrow{AB}+\frac{m}{m+n}\overrightarrow{AC}
.
Решение. Заметим, что
\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD},~\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}.
Умножим обе части первого равенства на n
, второго — на m
, и сложим почленно полученные равенства. Тогда
(m+n)\overrightarrow{AD}=(n\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{BD})+(m\overrightarrow{AC}+m\overrightarrow{CD})=
=(n\overrightarrow{AB}+m\overrightarrow{AC})+(n\overrightarrow{BD}+m\overrightarrow{CD})=
=n\overrightarrow{AB}+m\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{0}=n\overrightarrow{AB}+m\overrightarrow{AC}.
Следовательно,
\overrightarrow{AD}=\frac{1}{m+n}(n\overrightarrow{AB}+m\overrightarrow{AC})=\frac{n}{m+n}\overrightarrow{AB}+\frac{m}{m+n}\overrightarrow{AC}.