4190. Диагонали разбивают четырёхугольник на четыре треугольника. Докажите, что треугольники, прилежащие к двум противоположным сторонам четырёхугольника, равновелики тогда и только тогда, когда две другие стороны четырёхугольника параллельны.
Решение. Пусть диагонали AC
и BD
четырёхугольника ABCD
пересекаются в точке O
, причём BC\parallel AD
. Тогда треугольники ABD
и ACD
равновелики, так как у них одно и то же основание AD
и равные высоты. Следовательно,
S_{\triangle AOB}=S_{\triangle ABD}-S_{\triangle AOD}=S_{\triangle ACD}-S_{\triangle AOD}=S_{\triangle COD},
т. е. треугольники AOB
и COD
равновелики.
Пусть теперь треугольники AOB
и COD
равновелики. Тогда равновелики и треугольники ABD
и ACD
, так как
S_{\triangle ABD}=S_{\triangle AOB}+S_{\triangle AOD}=S_{\triangle COD}+S_{\triangle AOD}=S_{\triangle ACD}.
У этих треугольников общее основание AD
, поэтому их высоты, опущенные на AD
, равны. Следовательно, BC\parallel AD
.